Die Java Anwendung Mandelbrotmenge habe ich bereits auf einem Commodore C128-Computer programmiert. Auch bei geringer Auflösung hat diese Maschine eine ganz erhebliche Zeit für die Darstellung einer Ansicht benötigt.
Die Berechnung der Helligkeitswerte der einzelnen Bildpunkte erfolgt über einer recht
einfachen Algorithmus. Dabei finden sich im Internet einige Quellen, die nicht nur
Grauwertbilder, sondern farbige Darstellungen mit ausgeprägtem Detailreichtum verbinden.
Um nicht nur durch Probieren an der Farbgestaltung zu arbeiten und um kontinuierliche
Farbverläufe zu bekommen, muss man sich intensiver mit den unterschiedlichen Farbmodellen
und der Darstellung von Daten im Farbraum befassen. Ich möchte mich mit der Bildbearbeitung
auch noch bei anderen Anwendungen beschäftigen und werde vielleicht dann auch die Mandelbrotmenge
noch einmal farbiger gestalten.
Benoît B. Mandelbrot ist ein französischer Mathematiker polnischer Herkunft.
Über dieses Thema findet man z.B. im Internet weitere Informationen.
Die Mandelbrotmenge
Mit der linken Maustaste kann man einen Ausschnitt aus der Mandelbrotmenge vergrößern. Die Vergrößerungen lassen sich wiederholen, bis man an Auflösungsgrenzen der Zahlen gelangt. Tauchen Sie ein in das Wunderland der Fraktale.
Die Mandelbrotmenge entsteht aus der Untersuchung eines dynamischen Systems. Dabei ist die Übergangsfunktion
von einem Zustand des Systems zum nächsten, durch ein komplexes Polynom gegeben. Der zugehörige theoretische
Hintergrund ist durch die Theorie der Julia-Mengen beschrieben.
Der französische Mathematiker Gaston Julia (1893-1978) hat die wesentlichen Beiträge zu dieser Theorie geleistet,
während er sich in einem Militärkrankenhaus von seinen Kriegsverletzungen erholte. Pierre Fatou (1887-1929) hat
ebenfalls an der komplexen Iteration gearbeitet. Computer standen beiden nicht zur Verfügung.
Die Darstellungen der Iterationen sind so spektakulär, weil eine einfache Gleichung als Generator für eine
erstaunlich komplexe Formenwelt dienen kann.
Die Funktion des Programms
Das Programm berechnet als Ausgangsfigur die Mandelbrotmenge und erlaubt über die Markierung
eines Bildausschnitts mit der Maus detaillierte Ansichten. Schnell wird die fraktale Struktur
dieser Menge ersichtlich. Die Java-Anwendung wird dabei auf dem darstellenden Computer
ausgeführt. Die Berechnungen erfolgen in dem Moment, wenn ein neuer Bildausschnitt gewählt
wurde, oder wenn die Ausgangsfigur über Neustart neu initialisiert wird.
Wenn die Seite einmal über das Internet geladen wurde, dann wird die Dauer des Bildaufbaus
ganz wesentlich von der Geschwindigkeit und Rechenleistung des darstellenden Computers bestimmt.
In sofern ist das Programm auch ein Vergleichsmaßstab für die Leistungsfähigkeit des PC.
Die Gleichung, die diese fantastischen Formen erzeugt ist:
Zn+1 = Zn2 + C
Umgangssprachlich ausgedrückt: Man erhält den nächsten Wert, indem man den vorherigen Wert quadriert und
eine Konstante addiert. Allerdings handelt es sich bei den Zahlen Z und C nicht um reelle Zahlen, sondern
um komplexe Zahlen, die aus einem Realteil und einem Imaginärteil bestehen.
Die Konstante C enthält die Koordinaten eines Punktes der komplexen Zahlenebene. Diesen Koordinaten sind
die Bildkoordinaten (Pixelkoordianten) der dargestellten Mandelbrotmenge zugeordnet. Jeder Bildpunkt
der Mandelbrotmenge hat damit eine zugehörige komplexe Konstante C.
Für jeden Bildpunkt der Mandelbrotmenge wird mit einem Z0 = 0 begonnen. Es werden nach der
angegebenen Formel solange weitere Z-Werte berechnet, bis ein vorgegebener Grenzwert überschritten ist.
Die Anzahl der Iterationen korrespondiert mit dem Grauwert oder der Farbe des Punktes. Auf diese Art
wird die gesamte Mandelbrotmenge berechnet.
Man kann weitere Verfeinerungen an der Iterationsmethode vornehmen, um die Ränder detailreicher
aufzulösen und die Figuren durch Einfärbung noch schöner zu machen, aber auch ein Grauwertbild hat
seine Reize.
Zu Julia- und Mandelbrotmengen finden Sie weitere Informationen im Internet und eine große Menge an
verfügbarer Literatur.
Besuchen Sie doch das Tal der Seepferdchen oder finden Sie heraus, wo der folgenden Bewohner der komplexen Ebene wohnt.
Zurück zur Seite Programmierung
